Gerd Faltings gana el premio Abel de matemáticas por conectar formas y números

Gerd Faltings, uno de los matemáticos más influyentes de los últimos 50 años, es el ganador del Premio Abel 2026. El Premio Abel es uno de los dos premios más importantes en matemáticas y lo otorga la Academia Noruega de Ciencias y Letras. Otro premio muy importante es la Medalla Fields, otorgada en 1986 cuando demostró tres conjeturas importantes: la conjetura de Tate de los cúmulos abelianos, la conjetura de Shafarevich y la conjetura del modelo, la última de las cuales le dio fama internacional.

Según su perfil investigador como miembro de la Academia Europea de Ciencias, Gerd Faltings estudia “todo lo que le parece interesante”. Sin embargo, la mayor parte de su investigación se centró en el área de la geometría aritmética. El término en sí parece una contradicción: la geometría estudia fenómenos continuos, sin saltos ni cortes, mientras que la aritmética se ocupa de objetos discretos, es decir, cantidades individuales y contables. La geometría se ocupa de la forma de los objetos matemáticos. Por ejemplo, para explorar ecuaciones polinómicas (es decir, combinaciones de suma, resta y multiplicación de variables exponenciales enteras), la geometría nos permite analizar la forma de la solución. La aritmética, por otro lado, estudia principalmente los números enteros o racionales. Para estudiar una ecuación, la aritmética pregunta si tiene soluciones coordinadas enteras o racionales y cuántas hay.

El término “geometría aritmética” puede entenderse de dos maneras diferentes. La primera, y quizá la más superficial, afirma que las formas geométricas determinan las propiedades aritméticas. El segundo es más profundo, mostrando que existe una analogía entre geometría y aritmética, que permite transferir la intuición de una ciencia a otra, y que, utilizando un lenguaje apropiado, se pueden unificar ambas.

Un ejemplo perfecto de ambos puntos de vista es la conjetura modelo, que permaneció abierta durante 60 años antes de que Faltings la demostrara. La conjetura del modelo afirma que, de hecho, la forma, la geometría, determina la aritmética. Específicamente, si una ecuación tiene ciertas propiedades geométricas, entonces su conjunto entendido es siempre finito. Las soluciones a estas ecuaciones definen una curva, un objeto matemático unidimensional. Por ejemplo, la solución de un polinomio en dos variables forma una curva. Además, si consideramos soluciones con números complejos como coordenadas, obtenemos lo que se llama una curva compleja. Una propiedad geométrica interesante de esta curva compleja es el llamado género, que en este caso corresponde al número de agujeros. Si el género de la curva es cero, su forma es una esfera (sin agujeros). Si tiene un atributo, su forma es la superficie de un donut (con un agujero).

Entonces esta propiedad geométrica está estrechamente relacionada con la comprensión. Si el género es cero, puede que no haya solución para las coordenadas racionales, pero si hay una solución, hay infinitas. Si el género es uno, el número de soluciones coordinadas racionales puede ser finito o infinito. Pero, como demostró Faltings, si el género es mayor que uno, nunca puede haber un número infinito de soluciones racionales.

La analogía entre geometría y aritmética, el segundo punto que mencionamos anteriormente, predice que la conjetura de Model tiene un alter ego puramente geométrico, en el que las curvas se transforman en familias de curvas dependientes de parámetros y los puntos racionales se convierten en partes de esta familia. Yuri Manin (1963) y Hans Grauert (1965) han utilizado herramientas geométricas para demostrar una versión geométrica de la conjetura de Model. La intuición proporcionada por los gemelos geométricos llevó a Gerd Faltings a encontrar una prueba de la conjetura del modelo original, lo que sorprendió a los expertos de la época y abrió muchas vías de investigación.

Después de resolver la conjetura del modelo, Gerd Faltings resolvió otras conjeturas importantes como la conjetura del modelo-lang. Su trabajo cambió muchas áreas de las matemáticas modernas: soluciones de ecuaciones diofánticas, teoría de Araklov, teoría de variedades abelianas, espacios de módulos de haces vectoriales y teoría p-ádica de Hodge. En palabras de la Academia Noruega de Ciencias, que otorgó el Premio Abel, Gerd Faltings ganó el premio “por introducir poderosas herramientas en geometría aritmética y resolver conjeturas de larga data de Model y Lang”.

José Ignacio Burgos Es investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Fractal Dimension es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que investigadores profesionales realizan observaciones matemáticas de la actualidad.